Question

已知函数f(x)=

1

4x+2

(x∈R)，点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两个点，且线段P₁P₂的中点P的横坐标为

1

2

．
（Ⅰ）求证：点P的纵坐标是定值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

n

m

)(m∈N，n=1，2，…，m)，求数列{a_n}的前m项的和S_m．

Answer 1

考点：数列的求和,有理数指数幂的化简求值

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由题可知：x₁+x₂=2×

1

2

=1，由y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

化简整理可得y₁+y₂=

1

2

，从而可证点P的纵坐标是定值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数m，n，f（

n

m

）+f（

m-n

m

）=

1

2

恒成立，S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

），利用倒序相加法及可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题可知：x₁+x₂=2×

1

2

=1，所以，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=

4x1+4x2+4

(4x1+2)(4x2+2)

=

4x1+4x2+4 4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

4x1+4x2+4 2(4x1+4x2+4)

=

1

2

点P的纵坐标y_P=

y1+y2

2

=

1

4

是定值，问题得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数m，n，f（

n

m

）+f（

m-n

m

）=

1

2

恒成立．
由于S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

），故可考虑利用倒写求和的方法．
即由于：S_m=f（

1

m

）+f（

2

m

）+…+f（

m-2

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m

m

）
=f（

m

m

）+f（

m-1

m

）+f（

m-2

m

）+…+f（

2

m

）+f（

1

m

），
所以，2S_m=[f（

1

m

）+f（

m-1

m

）]+[f（

2

m

）+f（

m-2

m

）]+…+[f（

m-1

m

）+f（

1

m

）]+2f（

m

m

）
=

1

2

（m-1）+2f（1）=

1

6

（3m-1）．
所以，S_m=

1

12

（3m-1）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查有理数指数幂的化简求值，突出倒序相加法求和的考查，考查化简与运算能力，属于难题．