Question

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：

	文艺节目	新闻节目	总计
20至40岁	40	16	56
大于40岁	20	24	44
总计	60	40	100

（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名？
（2）是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关？说明你的理由；
（3）已知在大于40岁收看文艺节目的20名观众中，恰有8名又收看地方戏节目．现在从这20名观众中随机选出3名进行其他方面调查，记选出收看地方戏节目的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式与临界值表：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法,独立性检验

专题：概率与统计

分析：（1）由已知中的列联表，可得收看新闻节目的观众共有40人，从中抽取5人，可得抽样比，进而得到从大于40岁的观众中抽取的人数
（2）由已知中的列联表，代入计算出K²的值，与临界值比较后可得有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关
（3）由已知可得ξ的可能值为0、1、2、3，利用综合数计算出随机变量的分布列，代入数学期望公式，可得答案．

解答： 解：（1）收看新闻节目的观众共有16+24=40人，
从中随机抽取5名，
抽样比k=

5

40

=

1

8

应抽取大于40岁的观众人数为24×

1

8

=3（名）…（3分）（列式2分，计算1分）
（2）根据列联表中的数据，
得K2=

100×(40×24-16×20)2

56×44×60×40

=

1600

231

≈6.926＞6.635…（7分）
（列式2分，计算1分，判断1分）
所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关…（8分）
（3）ξ的可能值为0、1、2、3…（9分）
P(ξ=0)=

C 3 12

C 3 20

=

11

57

，
P(ξ=1)=

C 1 8 C 2 12

C 3 20

=

44

95

，
P(ξ=2)=

C 2 8 C 1 12

C 3 20

=

28

95

，
P(ξ=3)=

C 3 8

C 3 20

=

14

285

…（11分）（每个0.5分，四舍五入）
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	11 57	44 95	28 95	14 285

…（12分）
ξ的数学期望Eξ=0×

11

57

+1×

44

95

+2×

28

95

+3×

14

285

=

6

5

…（14分）（每个等号1分）

点评：本题考查的知识点是烹茶型随机变量的期望与方差，分层抽样方法，独立性检验是统计较为综合的题型，难度中档．