Question

5．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1求得a₂，由条件a_n+1=2S_n+3，将n换为n-1，两式相减可得a_n+1=3a_n，运用等比数列的求和公式即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₂=2S₁+3=2a₁+3=9，
当n≥2时，a_n+1=2S_n+3，
可得a_n=2S_n-1+3．
两式相减可得，a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
即为a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
则a_n=a₂•3^n-2=9•3^n-2=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ对n=1也成立，
则a_n=3ⁿ对n为一切正整数成立；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
数列{b_n}的前n项和T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式：当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．