Question

4．已知函数f（x）=cos2x+asinx（a∈R），
（Ⅰ）若a=6，求f（x）的最大值及此时x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性即可得出．
（Ⅱ）通过换元，原函数转化为 y=-2t²+at+1，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，分类讨论即可得出．

解答 解：（I）f （x）=-2sin²x+asinx+1，设t=sinx，
原函数转化为 y=-2t²+6t+1，t∈[-1，1]，
故t=1，即x∈$\{x|x=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\}$时，函数有最大值为5；
（Ⅱ）原函数转化为 y=-2t²+at+1，t∈[$\frac{1}{2}$，1]，分类如下：
（1）若a≥3，当t=$\frac{1}{2}$时，y_min=$\frac{a+1}{2}$=4，故符合题意的a=7；
（2）若a＜3，当t=1时，y_min=a-1=4，此时不存在符合题意的实数a；
综上，符合题意的a=7．

点评 本题考查了倍角公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了分类讨论与推理能力、计算能力，属于中档题．