Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-|{x-1}|（{x≤2}）\\-\frac{1}{4}{x^2}+2x-3（x＞2）\end{array}\right.$，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）个不同的数x₁，x₂，x₃，…，x_n，使得比值$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…=$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$成立，则n的取值集合是（　　）

• A． {2，3，4，5}
• B． {2，3}
• C． {2，3，5}
• D． {2，3，4}

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的几何意义为点（x_n，f（x_n））与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：∵$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的几何意义为点（x_n，f（x_n））与原点的连线的斜率，
∴$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的几何意义为点（x_n，f（x_n））与原点的连线有相同的斜率，
作出函数f（x）的图象，在区间（1，+∞）上，
y=kx与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，
故n=2或n=3，
即n的取值集合是{2，3}．
故选：B

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}$=$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}$=…═$\frac{{f（{x_n}）}}{x_n}$的含义，是解答的关键．