Question

16．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：

	常喝	不常喝	合计
肥胖		2
不肥胖		18
合计			30

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为$\frac{4}{15}$．
（1）请将上面的列联表补充完整
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由
（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
参考数据：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：${K}^{2}=\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

Answer 1

分析 （1）全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为$\frac{4}{15}$，求出肥胖的人数，这样用总人数减去肥胖的人数，剩下的是不肥胖的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．
（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．
（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．

解答 解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，$\frac{x+3}{30}=\frac{4}{15}，x=6$

	常喝	不常喝	合计
肥胖	6	2	8
不胖	4	18	22
合计	10	20	30

（2）由已知数据可求得：${K^2}=\frac{{30{{（6×18-2×4）}^2}}}{10×20×8×22}≈8.522＞7.879$
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组	1	2	3	4	5	6
收集数据	甲乙	甲丙	甲丁	乙丙	乙丁	丙丁
处理数据	丙丁	乙丁	乙丙	甲丁	甲丙	甲乙

分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，
所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．