Question

14．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数）
（I）将曲线C的极坐标方程和直线1的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点P（m，0），若|PA|•|PB|=5，求实数m的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化为直角坐标方程，对于直线l的参数方程消去参数t即可化为普通方程；
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{3}（m-2）t$+m²-4m=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为x²+y²=4x．
直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），消去t化为：x-$\sqrt{3}y$-m=0．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），代入圆C的方程可得：t²+$\sqrt{3}（m-2）t$+m²-4m=0，
∴t₁t₂=m²-4m，
∴|PA|•|PB|=5=|t₁t₂|=|m²-4m|，
解得m=5或-1．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法、圆的标准方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．