Question

9．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，则球O的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，知BC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=2，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．

解答 解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=2，
∴球O的半径R=4，
∴球O的表面积S=4πR²=64π．
故选：D．

点评 本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．