Question

设α，β（α＜β）分别是二次方程ax²+bx+c=0和ax²-bx-c=0的非零根，求证：函数f（x）=

a

2

x²+bx+c总在区间（α，β）有零点．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意分别表示出f（α），β），得到f（α）f（β）＜0，从而问题得证．

解答： 解：由题意可知：aα²+bα+c=0，aβ²-bβ-c=0
bα+c=-aα²，bβ+c=aβ²，f（α）=

a

2

α²+bα+c=

a

2

α²-aα²=-

a

2

α²，
f（β）=

a

2

β²+bβ+c=

a

2

β²+aβ²=

3a

2

β²，因为a≠0，α≠0，β≠0，
∴f（α）f（β）＜0，即函数f（x）=

a

2

x²+bx+c总在区间（α，β）有零点．

点评：本题考查了函数的零点问题，表示出f（α），β），得到f（α）f（β）＜0是解题的关键．