Question

设函数f（x）=lnx+

m

x

，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）-

x

3

零点的个数；
（3）（理科）若对任意b＞a＞0，

f(b)-f(a)

b-a

＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当m=e时，f′(x)=

x-e

x2

，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．
（2）由g（x）=f′(x)-

x

3

=

x-m

x2

-

x

3

=0，得m=x-

x3

3

，令h（x）=x-

x3

3

，x＞0，m∈R，则h（1）=

2

3

，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-

x

3

零点的个数．
（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）当m=e时，f′(x)=

x-e

x2

，x＞0，
解f′（x）＞0，得x＞e，
∴f（x）单调递增；
同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）只有极小值f（e），
且f（e）=lne+

e

e

=2，
∴f（x）的极小值为2．
（2）∵g（x）=f′(x)-

x

3

=

x-m

x2

-

x

3

=0，
∴m=x-

x3

3

，
令h（x）=x-

x3

3

，x＞0，m∈R，
则h（1）=

2

3

，h′（x）=1-x²=（1+x）（1-x），
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，

2

3

）；
同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，
∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（-∞，

2

3

）．
∴当m≤0，或m=

2

3

时，g（x）只有一个零点；
当0＜m＜

2

3

时，g（x）有2个零点；
当m＞

2

3

时，g（x）没有零点．
（3）（理）当b＞a＞0时，

f(b)-f(a)

b-a

＜1，
即f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，
∵

x-m

x2

＜1，∴m＞x-x²，
∵当x＞0时，二次函数x-x²∈（-∞，

1

4

]，
∴m＞

1

4

．
∴当m∈（

1

4

，+∞）时，满足题意．

点评：本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．