Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）实数k满足什么条件时，函数f（x）在区间（2k，4k+1）上单调递增？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用函数的当时与极值的关系即可得出；
（II）利用f′（x）=0，列出表格即可得出单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）已知函数f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

=

-ax2+ab

(x2+b)2

．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值-2	单调递增	极大值2	单调递减

∴f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．
若函数f（x）在区间（2k，4k+1）上单调递增，则有

2k≥-1 4k+1≤1 4k+1＞2k

，解得-

1

2

＜k≤0．
即k∈(-

1

2

，  0]时，函数f（x）在区间（2k，4k+1）上单调递增．

点评：本题考查了利用导数以及函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．