Question

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71829…），f′（x）表示f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=e，a_n+1=2f′（

1

an

）+3e，求证：数列{a_n}中的任意三项都不能构成等差数列；
（Ⅲ）对于曲线C上的不同两A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），是否存在唯一x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀）？证明的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证．

解答： 解：（I）f′（x）=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

，
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴当x=

1

e

时，f（x）取得极大值f（

1

e

）=-2，没有极小值；      …（4分）
（II）∵a_n+1=2f′（

1

an

）+3e，∴a_n+1=2a_n+e，∴

an+1+e

an+e

=2，
∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
则2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，
∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{a_n}中不存在成等差数列的三项   …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，
∴

x2-x1

x0

-ln

x2

x1

=0
即x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，设g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），
∴g（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），g′（x₁）=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₁）是x₁的增函数，
∵x₁＜x₂，∴g（x₁）＜g（x₂）=x₂ln

x2

x2

-（x₂-x₂）=0；
g（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），∴g′（x₂）=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₂）是x₂的增函数，
∵x₁＜x₂，∴g（x₂）＞g（x₁）=x₁ln

x1

x1

-（x₁-x₁）=0，
∴函数g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）内有零点x₀，…（10分）
又∵

x2

x1

＞1，∴ln

x2

x1

＞0，函数g（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）是增函数，
∴函数g（x）在（x₁，x₂）内有唯一零点x₀，命题成立…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于难题．