Question

设f(x)＝lnx＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a＝1，证明：x∈[1,2]时，f(x)－3<成立．

Answer 1

 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋a，

当a>0时，f ′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

当a<0时，f ′(x)＝，

由f ′(x)>0得0<x<－；由f ′(x)<0得，x>－.

∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．

(2)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x，

要证x∈[1,2]时，f(x)－3<成立，

只需证xlnx＋x²－3x－1<0在x∈[1,2]时恒成立．

令g(x)＝xlnx＋x²－3x－1，则g′(x)＝lnx＋2x－2，

设h(x)＝lnx＋2x－2，则h′(x)＝＋2>0，

∴h(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，即0≤g′(x)≤ln2＋2，

∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln2－3<0，∴当x∈[1,2]时，xlnx＋x²－3x－1<0恒成立，即原命题得证．