Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

Answer 1

　(1)设隔热层厚度为xcm，由题设知，

每年能源消耗费用为C(x)＝.

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.

又建造费用为C₁(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，

f(x)＝20C(x)＋C₁(x)＝20×＋6x

＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f ′(x)＝6－，

令f ′(x)＝0，

即＝6.解得x＝5，或x＝－(舍去)．

当0<x<5时，f ′(x)<0，当5<x<10时，f ′(x)>0，

故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．