Question

假设函数g（x）=

x

，f（x）=kx²，其中k为常数．
（1）计算g（x）的图象在点（4，2）处的切线斜率；
（2）求此切线方程；
（3）如果函数f（x）的图象经过点（4，2），计算k的值；
（4）求函数f（x）的图象与（2）中的切线的交点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，代入切点的横坐标求得切线的斜率；
（2）运用点斜式方程，即可得到切线方程；
（3）运用代入法，将点（4，2）代入，解得k；
（4）联立切线方程和曲线y=f（x），消去y，解方程，即可得到交点坐标．

解答： 解：（1）函数g（x）=

x

的导数为g′（x）=

1

2 x

，
则在点（4，2）处的切线斜率为

1

4

；
（2）g（x）在点（4，2）处的切线方程为y-2=

1

4

（x-4），
即为x-4y+4=0；
（3）f（x）=kx²，由函数f（x）的图象经过点（4，2），
即有2=16k，解得k=

1

8

；
（4）由

y= 1 8 x2 x-4y+4=0

消去y，可得x²-2x-8=0，
解得x=4或-2，
即有交点为（4，2）或（-2，

1

2

）．

点评：本题主要考查导数的运用：求切线方程，同时考查导数的几何意义，以及联立方程求交点，属于基础题．