题目内容
已知函数f（x）=2sin2（x+
）-
cos2x-1，x∈[
，
]．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x∈[
，
]，使得f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若存在x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）首先对三角函数的关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的整体思想求出函数的单调区间．
（2）首先根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围．
（2）首先根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围．
解答：
解：（1）（x）=2sin2（x+
）-
cos2x-1
=2（sin2x•
-cos2x•
）
=2sin(2x-
)
所以：f(x)=2sin(2x-
)
由x∈[
，
]．
所以：
≤2x-
≤
，
得
≤x≤
，
故递增区间为[
，
]；
（2）∵x∈[
，
]，
∴2x-
∈[
，
]，
使得f（x）＜m成立，
只需满足m＞f（x）min即可，
进一步求出f（x）的最小值为2sin
=1，
∴m＞1
| π |
| 4 |
| 3 |
=2（sin2x•
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=2sin(2x-
| π |
| 3 |
所以：f(x)=2sin(2x-
| π |
| 3 |
由x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
所以：
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
故递增区间为[
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
（2）∵x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
使得f（x）＜m成立，
只需满足m＞f（x）min即可，
进一步求出f（x）的最小值为2sin
| π |
| 6 |
∴m＞1
点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用函数的整体思想求出函数的单调区间，恒成立问题的应用，属于基础题型．
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