Question

1．数列{a_n}满足a_n+1=（-1）ⁿ•a_n+n，则{a_n}的前100项的和S₁₀₀（　　）

• A． 等于2400
• B． 等于2500
• C． 等于4900
• D． 与首项a₁有关

Answer 1

分析 ${a_{4n-2}}={（{-1}）^{4n-1}}•{a_{4n-1}}+（{4n-1}）=-{a_{4n-1}}+4n-1$；
${a_{4n-3}}={（{-1}）^{4n-2}}•{a_{4n-2}}+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+（{4n-1}）+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+8n-3$；
${a_{4n-4}}={（{-1}）^{4n-3}}•{a_{4n-3}}+（{4n-3}）=-[{-{a_{4n-1}}+8n-3}]+（{4n-3}）={a_{4n-1}}-4n$；
所以a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=a_4n-1+（-a_4n-1+4n-1）+（-a_4n-1+8n-3）+（a_4n-1-4n）=8n-4．
发现{a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n}是一个首项为4，公差为8的等差数列．

解答 解：，${a_{4n-2}}={（{-1}）^{4n-1}}•{a_{4n-1}}+（{4n-1}）=-{a_{4n-1}}+4n-1$；
${a_{4n-3}}={（{-1}）^{4n-2}}•{a_{4n-2}}+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+（{4n-1}）+（{4n-2}）=-{a_{4n-1}}+8n-3$；
${a_{4n-4}}={（{-1}）^{4n-3}}•{a_{4n-3}}+（{4n-3}）=-[{-{a_{4n-1}}+8n-3}]+（{4n-3}）={a_{4n-1}}-4n$；
所以a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=a_4n-1+（-a_4n-1+4n-1）+（-a_4n-1+8n-3）+（a_4n-1-4n）=8n-4．
发现{a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n}是一个首项为4，公差为8的等差数列，
于是${S_{100}}=25×4+\frac{{25×（{25-1}）}}{2}×8=2500$．
故选：B．

点评 本题考查了利用数列的递推式求数列的和，考查了分析问题的能力，归纳推理的能力，属于中档题．