Question

6．在△ABC中（图），$A=\frac{π}{3}，cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，BC=\sqrt{7}$，线段AC上点D满足AD=2DC．
（Ⅰ）求sin∠ABC及边AC的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据cosC求出sinC，利用三角形内角和定理以及和与差的公式即可求出sin∠ABC，在利用正弦定理可得边AC的长；
（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理BD，再利用正弦定理可得sin∠CBD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，C∈（0，π），
∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
sin∠ABC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$．
由正弦定理：$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sinA}$，
得$AC=\frac{BC}{sinA}•sin∠ABC=3$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC=3，AD=2DC，DC=1，
在△BCD中，根据余弦定理：BD²=DC²+BC²-2DC×BC•cosC=4，
可得：BD=2．
由正弦定理：$\frac{DC}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sinC}$，
得$sin∠CBD=\frac{DC×sinC}{BD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题考查了正余弦定理的合理运用．三角形内角和定理以及和与差的公式的计算．属于中档题．