Question

9．已知曲线y=（1-x）xⁿ（n∈N^*）在$x=\frac{1}{2}$处的切线为l，直线l在y轴上上的截距为b_n，则数列{b_n}的通项公式为b_n=（2-n）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 先求出切线的斜率：y=（1-x）xⁿ（n∈N^*）在$x=\frac{1}{2}$处的导数值，再由点斜式写出切线方程，令x=0求出b_n

解答 解：∵曲线y=（1-x）xⁿ（n∈N^*），
∴y′=-xⁿ+n（1-x）x^n-1=x^n-1（n-nx-x）
∴y′|${\;}_{x=\frac{1}{2}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1（n-$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$）=（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∵当x=$\frac{1}{2}$时，y=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴切线为l为y-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ（x-$\frac{1}{2}$），
当x=0时，直线l在y轴上上的截距为b_n=（2-n）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
故答案为：${b_n}=（2-n）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．