Question

20．如图，在多面体ABCDE中，ABDE是平行四边形，AB、AC、AD两两垂直．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ECD；
（Ⅱ）若BC=CD=DB=$\sqrt{2}$，求点B到平面ECD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB⊥AC，AB⊥AD，得AB⊥平面ACD，推导出AB∥DE，从而DE⊥平面ACD，由此能证明平面ACD⊥平面ECD．
（Ⅱ）连接BE．设B到平面CDE的距离为h，由V_B-CDE=V_E-BCD，能求出B到平面CDE的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD，
∵ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵DE?平面CDE，
∴平面ACD⊥平面ECD．
解：（Ⅱ）连接BE．∵AB，AC，AD两两互相垂直，$BC=CD=DB=\sqrt{2}$，
∴$A{C^2}+A{C_1}^2=A{C^2}+A{B_1}^2=A{B_1}^2+A{C_1}^2=2$，
∴AC=AC₁=AB₁=1，
∴${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{A{B_1}{C_1}}}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$，
∵AE∥BD，∴AE∥平面BCD，
∴${V_{E-BCD}}={V_{A-BCD}}=\frac{1}{6}$．
又由（Ⅰ）知DE⊥平面ACD，
∴DE⊥CD，∴${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}DE•CD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
设B到平面CDE的距离为h，
所以由V_B-CDE=V_E-BCD，得$\frac{1}{3}{S_{△CDE}}•h=\frac{1}{6}$，
所以$h=\frac{{\frac{1}{2}}}{{{S_{△CDE}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即B到平面CDE的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．