Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，取到数，整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，利用等差数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=a_na_n+1=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），累加即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$，则a_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（2）由b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{n+1}$×$\frac{2}{n+2}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
则数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，
=4[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]，
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{2n}{n+2}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．