Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E是线段PC上一点．
（1）若PC⊥平面BDE，求

PE

EC

的值；
（2）若二面角A-PB-C的余弦值为-

3

3

，求线段BD的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：向量法,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则P（0，0，2），C（0，2

2

，0），设B（b，

2

，0），D（-b，

2

，0），（b＞0），设EC=x，通过解直角三角形PAC，求得E的坐标，以及向量PC，BD，BE的坐标，由线面垂直的性质，得到数量积为0，解出方程，即可得到；
（2）由（1）得，

AP

=（0，0，2），

AB

=（b，

2

，0），设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z），运用向量垂直的条件，列出方程，求得一个法向量，同理设平面PBC的法向量为

n

=（p，q，r），运用向量垂直的条件，列出方程，求得一个法向量，再由向量的夹角公式，列方程，解得即可得到．

解答： 解：（1）以A为坐标原点，
建立如图空间直角坐标系A-xyz，
则P（0，0，2），C（0，2

2

，0），
设B（b，

2

，0），D（-b，

2

，0），（b＞0），
设EC=x，则在直角三角形PAC中，
PA=2，AC=2

2

，PC=2

3

，
则ECsin∠PCA=

3

3

x，ECcos∠PCA=

6

3

x，
即E（0，2

2

-

6

3

x，

3

3

x），
则

PC

=（0，2

2

，-2），

BD

=（-2b，0，0），

BE

=（-b，

2

-

6

3

x，

3

3

x）．
由于PC⊥平面BDE，
则PC⊥BD，PC⊥BE，则

PC

•

BE

=0，

PC

•

BD

=0，
则

2 2 •( 2 - 6 3 x)+(-2)• 3 3 x=0 0×(-2b)+2 2 ×0-2×0=0

，解得，x=

2 3

3

，
则PE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，则

PE

EC

=2；
（2）由（1）得，

AP

=（0，0，2），

AB

=（b，

2

，0），
设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • AP =2z=0 m • AB =bx+ 2 y=0

，
取

m

=（-

2

，b，0），
由于

PC

=（0，2

2

，-2），

BC

=（-b，

2

，0），
设平面PBC的法向量为

n

=（p，q，r），则

2 2 q-2r=0 2 q-bp=0

，
取

n

=（

2

，b，

2

b），
由于二面角A-PB-C的余弦值为-

3

3

，即有|cos＜

m

，

n

＞|=

3

3

，
即有|

m • n

| m |•| n |

|=|

-2+b2

2+b2 2+3b2

|=

3

3

，
解得，b=

10

5

．则线段BD的长为

2 10

5

．

点评：本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间二面角的求法，有一定的运算量，属中档题．