Question

已知圆C经过点A（-1，1），B（0，2），且圆心在直线x-y-1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点（2，3）且被圆C截得的弦长为4的直线l的方程；
（3）若点P（x，y）在圆C上，求t=

x-2

y-3

的取值范围．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用圆C经过点A（-1，1），B（0，2），且圆心在直线x-y-1=0上，求出D，E，F，即可求圆C的方程；
（2）弦长为4，圆心到直线l的距离为1，分类讨论，即可求出直线l的方程；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，则

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，即可求t=

x-2

y-3

的取值范围．

解答： 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则
∵圆C经过点A（-1，1），B（0，2），且圆心在直线x-y-1=0上，
∴

1+1-D+E+F=0 4+2E+F=0 - D 2 + E 2 -1=0

，
∴D=-2，E=0，F=-4，
∴圆的方程为x²+y²-2x-4=0；
（2）圆的方程可化为（x-1）²+y²=5，圆心为（1，0），半径为

5

，
∵弦长为4，
∴圆心到直线l的距离为1．
①直线的斜率不存在时，方程为x=2，满足题意；
②直线的斜率存在时，设方程为k（x-2）-y+3=0，则

|-k+3|

1+k2

=1，∴k=

4

3

，
∴直线的方程为4x-3y+1=0，
综上所述，直线的方程为x=2或4x-3y+1=0；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，则

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，
解得-

1

2

≤t≤2．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．