Question

9．我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y₁（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y₂（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．

时间t（天）	0	5	10	15	20	25	30
日销售量y1（万件）	0	25	40	45	40	25	0

（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y₁与t的变化规律，写出y₁与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y₂与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

Answer 1

分析 （1）由图可知y₁与t之间是二次函数关系，设y₁=a（t-0）（t-30），将已知坐标代入求出解析式；
（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数，由t的取值范围，求出函数解析式；
（3）分段讨论函数在个点的最大值，最后再综合即可．

解答 解：（1）由图表数据观察可知y₁与t之间是二次函数关系，且过（0，0），（30，0），
故设y₁=a（t-0）•（t-30），
将t=5，y₁=25代入解得a=-$\frac{1}{5}$，
∴y₁=-$\frac{1}{5}$t（t-30）（0≤t≤30）；
（2）由函数图象可知y₂与t之间是分段的一次函数，由图象可知：
当0≤t＜20时，y₂=2t，
当20≤t≤30时，y₂=-4t+120，
∴y₂=$\left\{\begin{array}{l}{2t，0≤t＜20}\\{-4t+120，20≤t≤30}\end{array}\right.$；
（3）分段函数分段讨论求函数最大值，过程如下：
①当0≤t＜20时，y=y₁+y₂=-$\frac{1}{5}$t（t-30）+2t=-$\frac{1}{5}$（t-20）²+80，
  图象的对称轴为t=20，当x∈（0，20]时，函数单调递增，
  所以x=20时，y_max=80，
②当20≤t≤30时，y=y₁+y₂=-$\frac{1}{5}$t（t-30）-4t+120=-$\frac{1}{5}$（t-5）²+125，
  图象的对称轴为t=5，当x∈（20，30]时，函数单调递减，
  所以x=20时，y_max=80，
综合以上讨论知，上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．

点评 本题主要考查了的是二次函数的应用以及分段函数的相关知识，运用形结合判断此函数是一次函数还是二次函数，属于中档题．