Question

17．已知点A（4，-2），B（-4，4），C（1，1）．
（1）求方向与$\overrightarrow{AB}$一致的单位向量；
（2）过点C作向量$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AB}$共线，且|$\overrightarrow{CD}$|=4，求点D坐标；
（3）若A，B，C都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算以及单位向量的概念，求出答案即可；
（2）设出点D的坐标，利用向量共线与模长公式，列出方程组求出点D的坐标；
（3）设处点D的坐标，利用平行四边形表示的向量相等，列出方程组求出点D的坐标．

解答 解：（1）∵点A（4，-2），B（-4，4），C（1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-8，6），|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-8）}^{2}{+6}^{2}}$=10，
∴方向与$\overrightarrow{AB}$一致的单位向量是$\overrightarrow{i}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$=（-$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
（2）设点D（x，y），则$\overrightarrow{CD}$=（x-1，y-1），
又$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AB}$共线，且|$\overrightarrow{CD}$|=4，
则$\left\{\begin{array}{l}{6（x-1）+8（y-1）=0}\\{\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{21}{5}}\\{y=-\frac{7}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{11}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（$\frac{21}{5}$，-$\frac{7}{5}$）或（-$\frac{11}{5}$，$\frac{17}{5}$）；
（3）设点D（x，y），∵A，B，C都是某个平行四边形的顶点，
当$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$时，（1-x，1-y）=（-8，6），
即$\left\{\begin{array}{l}{1-x=-8}\\{1-y=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴顶点D的坐标为（9，-5）；
当$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$时，（-4-x，4-y）=（-3，3），
即$\left\{\begin{array}{l}{-4-x=-3}\\{4-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴顶点D的坐标为（-1，1）；
综上顶点D的坐标为（9，-5）或（-1，1）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．