Question

4．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=4，|PF₂|=2．
（1）求椭圆的方程：
（2）若直线l：y=x+1与椭圆C的两交点为A，B，求弦AB的中点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可得2a=6，再由勾股定理可得c，结合a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即有2a=4+2=6，解得a=3，
又PF₁⊥PF₂，由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有4²+2²=（2c）²，
解得c=$\sqrt{5}$，
又b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{9-5}$=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）将直线l：y=x+1代入椭圆方程，可得
13x²+18x-27=0，
判别式为18²+4×13×27＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{18}{13}$，
由中点坐标公式可得，
AB的中点的横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{13}$，
则纵坐标为-$\frac{9}{13}$+1=$\frac{4}{13}$，
故AB的中点坐标为（-$\frac{9}{13}$，$\frac{4}{13}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查弦的中点的坐标，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，属于中档题．