Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知2tanA=$\frac{3}{sinA}$．
（Ⅰ）若b²+c²-a²+mbc=0，求实数m的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周长L的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2tanA=$\frac{3}{sinA}$．整理可得（2cosA-1）（cosA+2）=0，结合范围-1＜cosA＜1，解得cosA=$\frac{1}{2}$，利用已知及余弦定理即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，可得3bc=（b+c）²-3，利用基本不等式解得b+c≤2$\sqrt{3}$，即可求△ABC周长L的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵由2tanA=$\frac{3}{sinA}$．整理可得：2sin²A=3cosA，即：（2cosA-1）（cosA+2）=0，
∵-1＜cosA＜1，解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵b²+c²-a²+mbc=0，变形为$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{m}{2}$，即cosA=$-\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，
∴m=-1…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴bc=b²+c²-a²=（b+c）²-2bc-3，
∴3bc=（b+c）²-3，
而bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，（b+c）²-3≤3（$\frac{b+c}{2}$）²，
即b+c≤2$\sqrt{3}$，
故：L=a+b+c=$\sqrt{3}+b+c$$≤\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，当b=c时，L取得最大值3$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了余弦定理，基本不等式的综合应用，属于中档题．