Question

给出下列5个命题：
①函数y=|sin（2x-

π

12

）|的最小正周期

π

2

是；
②直线x=

7π

12

是函数y=2sin（3x-

π

4

）的一条对称轴；
③函数y=

1

2

sin2x-x有三个零点；
④若sinα+cosα=-

1

5

，且α为第二象限角，则tanα=

3

4

；
⑤函数y=cos（2x-3）在区间（

2

3

，3）上单调递减．
其中正确的是

 

（填出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：对于①根据三角函数的周期公式得以及绝对值函数的性质即可．
对于②可以利用函数的对称轴公式即得，也可以直接验证
对于③根据数形结合判断结论错误，然后用导数证明．
对于④由sinα+cosα=-

1

5

，求出sinα-cosα=

7

5

，求出sinα和cosα即可．
对于⑤可以证明 函数y=cos（2x-3）在区间（

2

3

，

3

2

）上递增．

解答： 解：对于①，∵y=sin（2x-

π

12

）的周期T=

2π

2

=π，∴y=|sin（2x-

π

12

）|的周期为

π

2

，故结论正确．
对于②，∵y=2sin（3x-

π

4

），由3x-

π

4

=kπ+

π

2

，得3x=kπ+

3π

4

，∴x=

kπ

3

+

π

4

，令k=1，得x=

5π

12

，故结论正确．
对于③，0是奇函数y=

1

2

sin2x-x的一个零点，当x＞0时，y′=cos2x-1≤0恒成立，则y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）是递减函数，∴y＜0恒成立，∴y=

1

2

sin2x-x在（0，+∞）上没有零点，同理在（-∞，0）同样没有零点．故结论不正确．
对于④若sinα+cosα=-

1

5

，∴1+2sinαcosα=

1

25

，∴2sinαcosα=-

24

25

又α为第二象限角，sinα-cosα＞0，∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1+ 24 25

=

7

5

，∴sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

，∴tanα=

3

4

，故结论正确；
对于⑤，∵x∈（

2

3

，3），∴2x-3∈（-

5

3

，3），由2x-3∈（-

5

3

，0），得x∈（

2

3

，

3

2

），故函数在（

2

3

，

3

2

）是递增，故结论不正确．
综上，①②④是正确的．
故答案为：①②④

点评：本题以三角函数性质为载体考查了命题的推导和证明，属于基础题．