Question

已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）设S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

6

成立．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，利用柯西不等式求解S的最小值，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，直接求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，对任意x₁，x₂∈[a，b]，不妨设x₂＞x₁，通过|x1-x2|与

5

6

的大小分类讨论，证明|f（x₁）-f（x₂）|＜

5

6

成立．

解答： “数学史与不等式选讲”模块（10分）
（1）解：由柯西不等式得（2²+1²+1²）[（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²]≥（2x+2y-6+1-x+6-2y-x）²
=1当且仅当

x+y-3

2

=

1-x

1

=

6-2y-x

1

时取等号，
即x=

5

6

，y=

5

2

，S取得最小值

1

6

，故a=

5

6

，b=

5

2

．…（5分）
（2）证明：不妨设x₂＞x₁，
当|x1-x2|≤

5

6

时，显然有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|≤

5

6

…（7分）
当|x1-x2|＞

5

6

时，因为f(a)=f(b)
故|f（x₁）-f（x₂）|=||（x₁）-f（a）+f（b）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（a）|+|f（x₂）-f（b）|＜|x₁-a|+|x₂-b|=x₁-a-x₂+b=

5

2

-

5

6

-(x2-x1)＜

5

3

-

5

6

=

5

6

．
故对任意x1，x2∈[a，b]，有|f(x1)-f(x2)|＜

5

6

成立  …（10分）

点评：本题考查不等式的证明，柯西不等式的几何意义，考查逻辑推理能力以及分类讨论思想的应用．