Question

设函数f（x）=lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设g（x）=

x

ex

，若对于任意给定的x₀∈（0，e]，方程f（x）+

1

e

=g(x0)在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，该方程的判别式△=a²+8＞0，可知方程-2x²+ax+1=0有两个实数根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x=

a+ a2+8

4

；当x∈(0，

a+ a2+8

4

)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（Ⅱ）g′(x)=

1-x

ex

，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，知函数g（x）在区间（0，e）上的极大值为g(1)=

1

e

，也为该区间上的最大值，于是函数g（x）在区间（0，e]的值域为(0，

1

e

]．令F(x)=f(x)+

1

e

，则F′(x)=f′(x)=

-2x2+ax+1

x

，探讨函数F（x）的单调性，约束a的范围．

解答： （Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，
由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，该方程的判别式△=a²+8＞0，
可知方程-2x²+ax+1=0有两个实数根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x=

a+ a2+8

4

，
当x∈(0，

a+ a2+8

4

)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
则函数f（x）的单调递增区间是(0，

a+ a2+8

4

)；递减区间是(

a+ a2+8

4

，+∞)．
（Ⅱ）g′(x)=

1-x

ex

，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e）时，
g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，知函数g（x）在区间（0，e）上的极大值为g(1)=

1

e

，
也为该区间上的最大值，于是函数g（x）在区间（0，e]的值域为(0，

1

e

]．
令F(x)=f(x)+

1

e

，则F′(x)=f′(x)=

-2x2+ax+1

x

，
由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x₃，
若x₃≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，与在（0，e]内有两个不同的实数根相矛盾，不合题意，可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3=

a+ a2+8

4

，
且F（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上单调递增；在(

a+ a2+8

4

，+∞)上单调递减．
因为?x₀∈（0，e]，方程f(x)+

1

e

=g(x0)在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F(x)max＞

1

e

．
由F（e）≤0，即lne-e2+ae+

1

e

≤0，解得a≤

e3-e-1

e2

．
由F(x)max=f(x3)+

1

e

＞

1

e

，即f（x₃）＞0，lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，
因为-2

x

2 3

+ax3+1=0，所以a=2x3-

1

x3

，代入lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，得lnx3+

x

2 3

-1＞0，
令h（x）=lnx+x²-1，∴h′（x）=

1

x

+2x在（0，e]上恒正，∴h（x）=lnx+x²-1在（0，e]上递增，
∵h（1）=0，∴h（x₃）＞h（1）=0，∴1＜x₃＜e，∵a=2x3-

1

x3

单调递增，∴1＜a＜2e-

1

e

，
综上，实数a的取值范围是（1，

e3-e-1

e2

]

点评：本题主要考查函数与导数的综合应用，要善于构造函数转化问题解题，本题属于高档题．