Question

已知⊙O：x²+y²=20与⊙C关于直线l：y=2x+5对称．
（1）求⊙C方程；
（2）判断两圆是否相交，若两圆相交，试求⊙O被公共弦分割成的两段弧长；若不相交，则说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆方程的综合应用

专题：直线与圆

分析：（1）由于⊙O与⊙C关于直线l：y=2x+5对称：⊙C的半径为2

5

圆心坐标设为C（a，b），由于直线OC与直线y=2x+5垂直，直线OC的斜率为：k=-

1

2

，通过解方程组，再利用中点坐标公式求得：C（-4，2），求得⊙C方程：（x+4）²+（y-2）²=20
（2）圆心（0，0）到直线y=2x+5的距离d=

5

＜2

5

可判断直线y=2x+5与圆相交．由于圆与圆关于直线y=2x+5对称，则圆与圆的位置关系；相交，进一步求得弦心角及弧长．

解答： 解：（1）已知⊙O：x²+y²=20圆心O（0，0），R=2

5

，
⊙O与⊙C关于直线l：y=2x+5对称．
则直线OC的方程为：y=-

1

2

x，
进一步建立方程组

y=2x+5 y=- 1 2 x

，
解得：

x=-2 y=1

，
利用中点坐标公式求得：C（-4，2），
⊙C方程：（x+4）²+（y-2）²=20．
（2）圆心（0，0）到直线y=2x+5的距离d=

5

＜2

5

直线y=2x+5与圆相交．
由于圆⊙O与圆⊙C关于直线y=2x+5对称
则圆⊙O与圆⊙C的位置关系；相交
则⊙O被公共弦分割成的两段弧长：可以利用解三角形知识，先求的圆心角的值为：120°，
则：l1=

120π2 5

180

=

4 5 π

3

，
l2=

8 5 π

3

，
故答案为：（1）（x+4）²+（y-2）²=20；
（2）圆与圆的位置关系；相交；l1=

4 5 π

3

，l2=

8 5 π

3

．

点评：本题考查的知识点：圆与圆关于直线的对称，中点坐标公式，直线垂直的充要条件，圆与圆的位置关系，弧长公式的应用以及相关的运算问题．