Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）与x轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，O为原点，求离心率e的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：以AO为直径的圆方程为（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

化简消去y，P、A是椭圆椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与x²+y²-ax=0两个不同的公共点，
根据根与系数的关系求解．
由图形得0＜m＜a，0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
a＜

2

c，即可得到答案．

解答： 解：∵∠AP0=90゜，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO为直径的圆方程为（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

，即x²+y²-ax=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
设P（m，n），
∵P、A是椭圆椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与x²+y²-ax=0两个不同的公共点，
∴m+a=

-a3

b2-a2

，ma=

a2b2

a2-b2

，可得m=

ab2

a2-b2

．
∵由图形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴a＜

2

c，解得椭圆离心率e=

c

a

＞

c

2 c

=

2

2

，
又∵e∈（0，1），
∴椭圆的离心率e的取值范围为（

2

2

，1）．

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，运用方程组求解，难度较大．