Question

已知sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，且0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，求cos（α+β）、sin（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用同角三角函数关系，结合角的变换，即可得出结论．注意角的范围以及三角函数的符号．

解答： 解：因为sin（

3π

4

+α）=

5

13

，cos（

π

4

-β）=

3

5

，且0＜α＜

π

4

＜β＜

3π

4

，
所以

3π

4

＜

3π

4

+α＜π，-

π

2

＜

π

4

-β＜0，
所以cos（

3π

4

+α）=-

12

13

，sin（

π

4

-β）=-

4

5

，
所以cos（α+β）=sin[

3π

4

+α-(

π

4

-β)]=sin（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-cos（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β）
=

5

13

×

3

5

-(-

12

13

)×(-

4

5

)=-

33

65

；
sin（α-β）=-sin[（

3π

4

+α）+（

π

4

-β）]=-sin（

3π

4

+α）cos（

π

4

-β）-cos（

3π

4

+α）sin（

π

4

-β）
=-

5

13

×

3

5

-(-

12

13

)×(-

4

5

)
=-

63

65

．

点评：本题考查同角三角函数关系，考查角的等价变换，考查学生的计算能力，属于中档题．