Question

（Ⅰ）在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程以及曲线C₂的普通方程；
（2）设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的切线，求这条切线长的最小值．
（Ⅱ）已知f（x）=m-|x-2|，且不等式f（x+2）≥0解集为[-1，1]．
（1）求正实数m的大小；
（2）已知a，b，c∈R，且

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=m，求a+2b+3c的最小值．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,参数方程化成普通方程

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）（1）参数方程、极坐标化为直角坐标方程，可得结论．
（2）根据圆的切线性质、点到直线的距离公式求得这条切线长的最小值．
（Ⅱ）（1）由条件可得|x|≤m，求得-m≤x≤m．再根据f（x+2）≥0的解集是[-1，1]，求得m的值．
（2）由（1）知

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=1，a，b，c∈R₊，由柯西不等式求得a+2b+3c的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）对于曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1；
对于曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数），可化为普通方程3x+4y-15=0．
（2）过圆心（1，-2）点作直线3x+4y-15=0的垂线，此时切线长最小，
则由点到直线的距离公式可知，d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，则切线长为

16-1

=

15

．
（Ⅱ）（1）因为f（x+2）=m-|x|≥0，所以|x|≤m，所以m≥0，-m≤x≤m．
又f（x+2）≥0的解集是[-1，1]，故m=1．
（2）由（1）知

1

a

+

1

2b

+

1

3c

=1，a，b，c∈R₊，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(

1

a

+

1

2b

+

1

3c

)≥(1+1+1)2=9．
∴a+2b+3c的最小值为9．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，圆的切线性质，点到直线的距离公式，柯西不等式的应用，属于基础题．