Question

已知抛物线E：y²=4x，定点D（m，0）（m＞0），过点D作直线交抛物线E于A，B两点，
（1）若m=1，求证；以AB为直径的圆与直线l：x=-1相切；
（2）是否存在垂直于x轴的直线l′被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点和准线方程，设出设过点D（1，0）的直线AB的方程为x=1或y=k（x-1），分别讨论k不存在，求出A，B，得到圆心和半径，即可判断；再讨论k存在的情况，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式求出圆心和半径，即可得证；
（2）假设存在满足条件的直线，根据垂径定理得性质可知，要使截得的弦长为定值，则只要圆心到直线的距离为定值即可．

解答： （1）证明：抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，焦点为（1，0），
设过点D（1，0）的直线AB的方程为x=1或y=k（x-1），
若AB：x=1，则A（1，2），B（1，-2），|AB|=4，
AB中点为（1，0），到直线x=-1的距离为2，
则以AB为直径的圆与直线l：x=-1相切；
若AB：y=k（x-1），代入抛物线方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2+

4

k2

，则AB的中点的横坐标为1+

2

k2

，
则中点到准线的距离d为2+

2

k2

，
由抛物线的定义，可得|AB|=x₁+1+x₂+1=4+

4

k2

，
则有d=

1

2

|AB|，
故以AB为直径的圆与直线l：x=-1相切；
（2）解：假设存在垂直x轴的直线x=n，弦长为d，
则AD的中点的横坐标为

x1+m

2

，
即AD的中点到直线l'的距离为|

x1+m

2

-n|，
则d=2

( 1 2 |AD|)2-( x1+m 2 -n)2

，
则有

1

4

d²=

1

4

（x₁-m）²+

1

4

y₁²-

1

4

（x₁+m）²-n²+（x₁+m）n
=

1

4

×（-4mx₁）+x₁-n²+（x₁+m）n=（n-m+1）x₁+mn-n²，
则有当m=1时不存在，
当m＞0且m≠1时，存在直线x=m-1．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系及相切的条件，以及弦长公式的运用，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理求解，属于中档题．