题目内容

9．计算：$\underset{lim}{x→0}（1+2x）^{\frac{1}{x}}$．

分析 换元，利用第二类重要极限，即可求得答案．

解答 解：令u=2x，当x→0，u→0，
∴$\underset{lim}{x→0}（1+2x）^{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→0}$$[（1+2x）^{\frac{1}{2x}}]^{2}$=[$\underset{lim}{u→0}$$（1+u）^{\frac{1}{u}}$]2=e2，
∴$\underset{lim}{x→0}（1+2x）^{\frac{1}{x}}$=e2．

点评 本题考查第二类极限的应用，考查转化思想，属于基础题．

练习册系列答案
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1．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）+cos（2x-$\frac{3π}{4}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（α）=$\sqrt{2}$，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，求tanβ的值．
2．设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜-1）=0.2，则函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+{η^2}$x没有极值点的概率是0.7．
19．若函数f（x）=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{2}$）B．（-∞，1）C．（0，+∞）D．（0，1）
4．某矿业公司对A、B两个铁矿项目调研结果是：A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性为0.2，不赔不赚的可能性为0.2．现计划用不超过100万元的资金投资A、B两个项目，假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目的资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．
（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；
（2）记投资A、B项目的利润分别为M和N，试写出随机变量M与N的分布列和期望E（M），E（N）；
（3）根据（1）的条件和调研结果，试估计两个项目的平均利润之和z=E（M）+E（N）的最大值．
14．已知点P在曲线$y=\frac{1}{e^x}（x＞0）$上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（$\frac{3π}{4}$，π）．
1．某班主任对全班40名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：
认为作业多认为作业不多总计
喜欢玩游戏2010
不喜欢玩游戏28
总计
（Ⅰ）请完善上表中所缺的有关数据；
（Ⅱ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“喜欢玩游戏与作业量的多少有关系”？
P（x2≥k）0.100    0.050    0.010
k2.706    3.841    6.635
附：χ2=$\frac{{n{{（n}_{11}n}_{22}{{-n}_{12}n}_{21}）}^{2}}{{（n}_{11}{+n}_{12}）{（n}_{21}{+n}_{22}）{（n}_{11}{+n}_{21}）{（n}_{12}{+n}_{22}）}$．
18．数列{an}中，a1=3，且an+1=an-2（n∈N*），则a8=（　　）
A．17B．19C．-13D．-11
19．已知正数a，b满足a2+b2=1，则ab的最大值为（　　）
A．1B．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{1}{4}$

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