Question

4．某矿业公司对A、B两个铁矿项目调研结果是：A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性为0.2，不赔不赚的可能性为0.2．现计划用不超过100万元的资金投资A、B两个项目，假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目的资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．
（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；
（2）记投资A、B项目的利润分别为M和N，试写出随机变量M与N的分布列和期望E（M），E（N）；
（3）根据（1）的条件和调研结果，试估计两个项目的平均利润之和z=E（M）+E（N）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；
（2）利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；
（3）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值

解答 解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤100}\\{x≥y}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
表示的区域如图所示；

（Ⅱ）随机变量ξ的分布列为

M	0.4x	-0.2x
P	0.6	0.4

∴Eξ=0.24x-0.08x=0.16x；
随机变量η的分布列为

N	0.35y	-0.1y	0
P	0.6	0.2	0.2

∴Eη=0.21y-0.02y=0.19y；
（Ⅲ）z=EM+EN=0.16x+0.19y，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{x=y}\end{array}\right.$，可得x=y=50，
根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=EM+EN的最大值为17.5万元．

点评 本题考查线性规划知识，考查随机变量ξ与η的分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．