Question

二次函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n为正整数，a₁=

1

3

，则S₅=（　　）

• A、

  3

  2

  [1-(

  1

  3

  )5]
• B、

  1

  3

  [1-(

  1

  3

  )5]
• C、

  2

  3

  [1-(

  1

  2

  )5]
• D、

  3

  2

  [1-(

  1

  2

  )5]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,数列与函数的综合

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程得到切线方程，再令y=0，得到a_n+1=

1

2

a_n，再由等比数列的求和公式，即可得到S₅．

解答： 解：函数y=x²（x＞0）的导数为y′=2x，
则在点（a_n，a_n²）处的切线方程为：y-a_n²=2a_n（x-a_n），
当y=0时，解得x=

1

2

a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n，即数列{a_n}是等比数列，公比q为

1

2

，
∵a₁=

1

3

，∴S₅=

1 3 (1-( 1 2 )5)

1- 1 2

=

2

3

•[1-(

1

2

)5]．
故选C．

点评：本题考查导数的几何意义，等比数列的求和公式和应用，解题时要灵活地运用函数的切线方程，合理地进行等价转换．