Question

在△ABC中，给出下列结论，其中正确的命题个数是

 

．
（1）若A，B，C成等差数列，则∠B等于

π

3

；
（2）若A，B，C成等比数列，则∠B的最大值是

π

3

；
（3）若a，b，c成等比数列，则∠B的最大值是

π

3

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：对于（1），由等差中项的概念结合三角形的内角和为π加以判断；
对于（2），由等比数列的性质及基本不等式结合三角形的内角和为π加以判断；
对于（3），由等比数列的性质结合余弦定理求出∠B的最大值加以判断．

解答： 解：在△ABC中，
（1）若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，
由A+B+C=3B=π，得∠B等于

π

3

，命题（1）正确；
（2）若A，B，C成等比数列，则AC=B²．
π=A+B+C≥B+2

AC

=B+2

B2

=3B，B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，命题（2）正确；
（3）若a，b，c成等比数列，则b²=ac，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-b2

2ac

=

b2

2b2

=

1

2

．
∵0＜B＜π，函数y=cosx在（0，π）上为减函数，
∴B≤

π

3

．
∠B的最大值是

π

3

，命题（3）正确．
∴正确的命题个数是3．
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与运用，考查了等差数列和等比数列的性质，训练了基本不等式和余弦定理的用法，是中档题．