题目内容
设点F（1，0），M点在x轴上，点P在y轴上，且
=2
，PM⊥PF，当点P在y轴上运动．
（1）求点N的轨迹C的方程．
（2）设Q为直线x+1=0上的动点，过Q作C的两条切线l1，l2，切点分别为A与B
①证明：l1⊥l2；
②证明：直线AB过定点．
| MN |
| MP |
（1）求点N的轨迹C的方程．
（2）设Q为直线x+1=0上的动点，过Q作C的两条切线l1，l2，切点分别为A与B
①证明：l1⊥l2；
②证明：直线AB过定点．
考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）先确定坐标之间的关系，再利用PM⊥PF，即可求点N的轨迹C的方程．
（2）①求出切线l1，l2的方程，利用Q为直线x+1=0上的动点，可得
=
，将x1=
，x2=
，代入整理，即可证明结论；
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y2=4x，由韦达定理知，y1y2=4n，即可得出结论．
（2）①求出切线l1，l2的方程，利用Q为直线x+1=0上的动点，可得
| y2 |
| y1 |
| x2-1 |
| x1-1 |
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y2=4x，由韦达定理知，y1y2=4n，即可得出结论．
解答：
（1）解：依题知，P是线段MN的中点，设M（a，0）（a＜0），P（0，b），N（x，y）
则
，∵PM⊥PF，∴
?
=0，即a+b2=0，∴y2=4x为所求．…（4分）
（2）证明：①设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（-1，t）
则l1的方程为y1y=2（x1+x）；l2的方程为y2y=2（x2+x）
∴ty1=2（x1-1），ty2=2（x2-1），
∴
=
，将x1=
，x2=
代入整理得y1y2=-4 …（8分）
∴k1k2=
=-1，∴l1⊥l2； …（10分）
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y2=4x，消去x整理得
y2-4my+4n=0，由韦达定理知，y1y2=4n
∴4n=-4，n=-1，即AB所在直线方程为my=x-1
于是直线AB过定点F（1，0）…（12分）
则
|
| PM |
| PF |
（2）证明：①设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（-1，t）
则l1的方程为y1y=2（x1+x）；l2的方程为y2y=2（x2+x）
∴ty1=2（x1-1），ty2=2（x2-1），
∴
| y2 |
| y1 |
| x2-1 |
| x1-1 |
| y12 |
| 4 |
| y22 |
| 4 |
∴k1k2=
| 4 |
| y1y2 |
②设AB所在直线方程为my=x+n，代入y2=4x，消去x整理得
y2-4my+4n=0，由韦达定理知，y1y2=4n
∴4n=-4，n=-1，即AB所在直线方程为my=x-1
于是直线AB过定点F（1，0）…（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线AB过定点，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
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通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，计算得K2的观测值k≈7.822：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
| P（K2≥k） | 0.050 | 0． 010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
| A、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” |
| B、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” |
| C、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” |
| D、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” |
函数y=x2+1在x=2处的导数是（ ）
| A、5 | B、4 | C、3 | D、2 |
