Question

16．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a+2）x-1，x≤1}\\{\frac{a}{x}，x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调函数，则实数a的取值范围为$（-\frac{2}{3}，-\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 通过函数的单调性，列出不等式，化简求解即可．

解答 解：当函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a+2）x-1，x≤1}\\{\frac{a}{x}，x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调增函数，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+2＞0}\\{a＜0}\\{a≥3a+1}\end{array}\right.$，解得a∈$（-\frac{2}{3}，-\frac{1}{2}]$．
当函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a+2）x-1，x≤1}\\{\frac{a}{x}，x＞1}\end{array}\right.$是R上的单调减函数，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+2＜0}\\{a＞0}\\{3a+2-1＞a}\end{array}\right.$，解得a∈∅．

故答案为：$（-\frac{2}{3}，-\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．