Question

20．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DA}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=-4，则sin∠BAD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式即可求出cos∠BAD，再根据同角的三角函数的关系即可求出sin∠BAD．

解答 解：在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DA}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos∠BAD=6-8-8cos∠BAD=-4，
∴cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，
∴sin∠BAD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．