Question

一个无重复数字的五位数，如果满足万位和百位上的数字都比千位上的数字小，百位和个位上的数字都比十位上的数字小，则这个五位数称为“倒W型数”，问：一共有多少个倒W型数？

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：若5个数字不含0，则共有

C

5 9

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为1，2，3，4，5，可考虑千位分别为3，4，5，再考虑十位，运用列举法，即可得到共有16个，故不含0的倒W型数有16×

C

5 9

；若5个数字含0，则共有

C

4 9

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为0，1，2，3，4，可考虑千位分别为2，3，4，再考虑十位，运用列举法，即可得到共有16个，故不含0的倒W型数有16×

C

5 9

；

解答： 解：若5个数字不含0，则共有

C

5 9

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为1，2，3，4，5，
①若千位为3，百、万位排1，2，则十位为5，则有2个；
②若千位为4，百、万位排3，2 或3，1或1，2，则十位即为1，2，3，则有2+2+2=6个；
③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；
百、万位排4，1，则十位排3，有1个；
百、万位排3，2，或3，1或1，2，则十位排4，则有2+2+2=6个；
“倒W型数”有：2+6+1+1+6=16个．
故不含0的“倒W型数”有：16×

C

5 9

=2016个，
若5个数字含0，则共有

C

4 9

种不同选择，不妨假设组成5位数的数字为0，2，3，4，5，
①若千位为3，百、万位排0，2，则十位为5，则有1个；
②若千位为4，百、万位排3，2 或0，3或0，2，则十位即为0，2，3，则有2+1+1=4个；
③若千位为5，百、万位不排4，3，排2，4，则十位排3，有1个；
百、万位排4，0，则十位排3，有1个；
百、万位排3，2，或0，3或0，2，则十位排4，则有2+1+1=4个；
“倒W型数”有：2+4+1+1+4=12个．
故不含0的“倒W型数”有：12×

C

4 9

=1512个，
综上共有2016+1512=3528个倒W型数

点评：本题考查排列组合及概率的应用题，考查两个计数原理和运用，比较基础．