Question

7．如图BB₁，CC₁，DD₁均垂直于正方形AB₁C₁D₁所在平面A、B、C、D四点共面．
（I）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（II）若E，F分别为AB₁，D₁C₁上的点，AB₁=CC₁=2BB₁=4，AE=D₁F=1．
（i）求证：CD丄平面DEF；
（ii）求二面角D-EC₁-D₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BB₁∥CC₁，AB₁∥D₁C₁，从而面ABB₁∥面CC₁D₁D，同理，面ADD₁∥面BB₁C₁C，进而AB∥CD，BC∥AD，由此能证明四边形ABCD为平行四边形．
（Ⅱ）（i）推导出EF⊥CD，CD⊥DF，由此能证明CD⊥平面DEF．
（ii）过点D₁作D₁H⊥EC₁于点H，连结DH，推导出∠DHD₁是二面角D-EC₁-D₁的平面角，由此能求出二面角D-EC₁-D₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵BB₁⊥面ABCD，CC₁⊥面ABCD，
∴BB₁∥CC₁，又AB₁∥D₁C₁，AB₁，BB₁是面ABB₁内两相交直线，
D₁C₁，CC₁是面CC₁，D₁D内两相交直线，
∴面ABB₁∥面CC₁D₁D，
同理，面ADD₁∥面BB₁C₁C，
∵A、B、C、D四点共面，故AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
（Ⅱ）（i）由题意，EF⊥平面CC₁D₁D，∴EF⊥CD，
∵AD=BC，AB₁=CC₁=2BB₁=4，AE=D₁F=1．
∴DD₁=2，DF=$\sqrt{5}$，CF=5，CD=AB=2$\sqrt{5}$，
∴DF²+DC²=FC²，∴CD⊥DF，
∵CD⊥EF，DF∩EF=F，∴CD⊥平面DEF．
解：（ii）过点D₁作D₁H⊥EC₁于点H，连结DH，
∵DD₁⊥平面AB₁C₁D₁，故DH⊥EC₁，
∴∠DHD₁是二面角D-EC₁-D₁的平面角，
在正方形AB₁C₁D₁中，sin∠D₁C₁E=$\frac{4}{5}$，
D₁H=D₁C₁，•sin∠D₁C₁E=4×$\frac{4}{5}=\frac{16}{5}$，
在Rt△DD₁H中，∵DD₁=2，∴tan∠DHD₁=$\frac{5}{8}$，
∴cos$∠DH{D}_{1}=\frac{8\sqrt{89}}{89}$，
∴二面角D-EC₁-D₁的余弦值为$\frac{8\sqrt{89}}{89}$．

点评 本题考查四边形为平行四边形的证明，考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．