Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$当x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• B． （-1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• C． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）
• D． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 考虑a=0，a＞0不成立，当a＜0时，画出f（x）的图象和f（x+a）的大致图象，考虑x=-$\frac{1}{2}$时两函数值相等，解方程可得a的值，随着y=f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，即可得到a的范围．

解答 解：a=0时，显然不符题意；
当x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，恒有f（x+a）＜f（x），
即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，
则a＜0，即f（x）的图象右移．
故A，B错；
画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$（a＜0）的图象，
当x=-$\frac{1}{2}$时，f（-$\frac{1}{2}$）=-a•$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$；
而f（x+a）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x+a）^{2}+x+a，x≥-a}\\{-a（x+a）^{2}+x+a，x＜-a}\end{array}\right.$，
则x=-$\frac{1}{2}$时，由-a（-$\frac{1}{2}$+a）²+a-$\frac{1}{2}$=-a•$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$舍去），
随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，
则a的范围是（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0），
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，化为图象之间的关系，由图象平移结合数形结合思想方法，考查运算能力，属于难题．