题目内容

已知无穷等比数列{an}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．
考点：数列的求和,数列的极限
专题：等差数列与等比数列
分析：由题意设出无穷等比数列的首项和公比，由等比数列的前n项和分别求出奇数项和偶数项的和后取极限，作比后求得等比数列的公比，进一步代入求得首项．
解答： 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q（|q|＜1），
依题意得：
lim
n→∞
a1(1-q2n)
1-q2
=
a1
1-q2
=36  ①
lim
n→∞
a2(1-q2n)
1-q2
=
a2
1-q2
=12  ②
两式相除得q=
1
3
．
将q=
1
3
代入①得a1=32．
∴此数列的首项为32，公比为
1
3
．
点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列的极限，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若离心率为
5
3
，短轴一个端点到右焦点距离为3，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（3）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
为定值．
化简：
（1）
sin(540°-x)
tan(900°-x)
•
1
tan(450°-x)tan(810°-x)
•
cos(360°-x)
sin(-x)

（2）
sin(π-α)cos(3π-α)tan(-π-α)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+α)
．
已知不等式kx2-2x+6k＜0（k≠0）
（1）若不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．
设函数f（x）=
2x+4
4x+8

（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：对于任意实数a、b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
．
数列{an}中，a1=-
2
3
，其通项an满足an=-
1
an-1+2
（n≥2）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明．
某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，分别到气象站和医院抄录了1至6月份每月15日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日    期1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日
昼夜温差x（°C）8111312106
就诊人数y（个）162529262111
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是5月与6月的两组数据，请根据1至4月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性的回归方程是否理想？
（参考数值：
4
i=1
（xi-
.
x
）（yi-
.
y
）=36，公式：
b
=
n
i=1
(xi-
.
y
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
）
已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，求z及
z
.
z
．
cos43°cos13°+sin43°sin13°的值等于
 
．

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