Question

设函数f（x）=

2x+4

4x+8

（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：对于任意实数a、b，恒有f（a）＜b²-3b+

21

4

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f(x)=

24•2x

(2x)2+8

=

16

2x+ 8 2x

≤

16

2 2x• 8 2x

=2

2

，当且仅当2x=

8

2x

时取等号，求出f（x）的最大值即可；
（2）由（1）知f(a)≤2

2

，又因为b2-3b+

21

4

=(b-

3

2

)2+3≥3＞2

2

，所以对于任意实数a，b，恒有f（a）＜b2-3b+

21

4

成立．

解答： 解：（1）∵f(x)=

24•2x

(2x)2+8

=

16

2x+ 8 2x

≤

16

2 2x• 8 2x

=2

2

当且仅当2x=

8

2x

时取等号，
∴f（x）的最大值为2

2

；
（2）由（1）知f(a)≤2

2

，
又∵b2-3b+

21

4

=(b-

3

2

)2+3≥3＞2

2

，
∴对于任意实数a，b，恒有f（a）＜b2-3b+

21

4

成立．

点评：本题主要考查了不等式的性质的运用，属于基础题．