Question

数列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其通项a_n满足a_n=-

1

an-1+2

（n≥2）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）利用（1）的结论，猜想a_n的表达式，再用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）∵a₁=-

2

3

，a_n=-

1

an-1+2

（n≥2），
∴a₂=-

3

4

，a₃=-

4

5

，a₄=-

5

6

．             …3分
（2）由（1）可以猜想a_n=-

n+1

n+2

．                                    …4分
用数学归纳法证明：
ⅰ）当n=1时，a₁=-

2

3

，所以当n=1时猜想成立．             …5分
ⅱ）假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=-

k+1

k+2

，
当n=k+1时，a_k+1=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

所以当n=k+1时猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=-

n+1

n+2

．…8分

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．