Question

18．已知数列{a_n}（n∈N^*），其前n项和为S_n，若a_n=cos$\frac{2nπ}{5}$，则在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，满足S_m=0（1≤m≤100，m∈N^*）的m的个数为20．

Answer 1

分析 运用周期公式，求得T=5，运用三角函数的恒等变换公式，化简可得S₅=0，即可得到满足条件的m的值．

解答 解：a_n=cos$\frac{2nπ}{5}$，
可得周期T=$\frac{2π}{\frac{2π}{5}}$=5，
S₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=cos$\frac{2π}{5}$+cos$\frac{4π}{5}$+cos$\frac{6π}{5}$+cos$\frac{8π}{5}$+cos$\frac{10π}{5}$
=cos$\frac{2π}{5}$-cos$\frac{π}{5}$-cos$\frac{π}{5}$+cos$\frac{2π}{5}$+1
=-2（cos$\frac{3π}{5}$+cos$\frac{π}{5}$）+1
=1-4cos$\frac{2π}{5}$cos$\frac{π}{5}$=1+$\frac{-4cos\frac{2π}{5}（2sin\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}）}{2sin\frac{π}{5}}$=1+$\frac{-4sin\frac{2π}{5}cos\frac{2π}{5}}{2sin\frac{π}{5}}$
=1+$\frac{-2sin\frac{4π}{5}}{2sin\frac{4π}{5}}$=1-1=0，
则满足S_m=0（1≤m≤100，m∈N^*）的m的个数为
100÷5=20．
故答案为：20．

点评 本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．