Question

3．已知f（x）=e^x-ax²，g（x）是f（x）的导函数．
（I ）求g（x）的极值；
（II）证明：对任意实数x∈R，都有f′（x）≥x-2ax+1恒成立：
（Ⅲ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为证e^x≥x+1，令k（x）=e^x-1-x，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出h（x）＜h（0），求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax²，g（x）=f′（x）=e^x-2ax，g′（x）=e^x-2a，
当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）无极值； 
当a＞0时，g′（x）=0，即x=ln（2a），
由g′（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g′（x）＜0，得x＜ln（2a），
所以当x=ln（2a）时，有极小值2a-2aln（2a）．
（Ⅱ）因为f′（x）=e^x-2ax，
所以要证f′（x）≥x-2ax+1，只需证e^x≥x+1，
令k（x）=e^x-1-x，则k′（x）=e^x-1，且k′（x）＞0，得x＞0；k′（x）＜0，得x＜0，
∴k（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴k（x）≥k（0）=0，即e^x≥1+x恒成立，
∴对任意实数x∈R，都有f′（x）≥x-2ax+1恒成立；
（Ⅲ）令h（x）=e^x-ax²-x-1，
则h′（x）=e^x-1-2ax，注意到h（0）=h′（0）=0，
由（Ⅱ）知e^x≥1+x恒成立，故h′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
①当a≤$\frac{1}{2}$时，1-2a≥0，h′（x）≥0，
于是当x≥0时，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．
②当a＞$\frac{1}{2}$时，由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
h′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln（2a））时，h′（x）＜0，
于是当x∈（0，ln（2a））时，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．
综上，a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．